Antiderivativ och integrerad presentation. Antiderivat och integral. Grundläggande egenskaper hos en bestämd integral

GBOU SPO "Navashinsky Ship Mechanical College" Obestämd integral. Beräkningsmetoder

Eudoxus av Knidos c. 408 - ca. 355 f.Kr e. Integralkalkylen dök upp under den antika perioden av utvecklingen av matematisk vetenskap och började med utmattningsmetoden, som utvecklades av matematikerna i det antika Grekland, och var en uppsättning regler utvecklade av Eudoxus från Cnidus. Enligt dessa regler beräknades areorna och volymerna

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Symbolen ∫ introducerades av Leibniz (1675). Detta tecken är en variant av den latinska bokstaven S (första bokstaven i ordet summa).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Newton och Leibniz upptäckte oberoende av varandra ett faktum som kallas Newton-Leibniz-formeln.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 1897) Cauchys och Weierstrass arbete sammanfattade den månghundraåriga utvecklingen av integralkalkyl.

Ryska matematiker deltog i utvecklingen av integralkalkyl: M.V. Ostrogradsky (1801 - 1862) V.Ya. Bunyakovsky (1804 - 1889) P.L. Chebyshev (1821–1894)

Odefinierad integral En obestämd integral av en kontinuerlig funktion f(x) på intervallet (a; b) är någon av dess antiderivata funktioner. Där C är en godtycklig konstant (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Match. Hitta en sådan generell form av antiderivatan som motsvarar den givna funktionen. tgx +С

Integralegenskaper

Integralegenskaper

Grundläggande metoder för integration Tabellform. 2. Reduktion till en tabellform omvandling av integranden till en summa eller skillnad. 3.Integration med en förändring av variabel (substitution). 4. Integrering av delar.

Hitta antiderivator för funktioner: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x + C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) \u003d 3-2x

Är det sant att: a) c) b) d)

Exempel 1. Integralen av summan av uttryck är lika med summan av dessa uttrycks integraler. En konstant faktor kan tas ut ur integraltecknet

Exempel 2. Kontrollera lösning Spela in lösning:

Exempel 3. Kontrollera lösning Spela in lösning:

Exempel 4 . Kontrollera lösningen Skriv ner lösningen: Introducera en ny variabel och uttryck differentialerna:

Exempel 5. Kontrollera lösning Spela in lösning:

C läxsökning obestämd integral Kontrollera lösningen Nivå “A” (med “3”) Nivå “B” (med “4”) Nivå “C” (med “5”)

Uppgift Skapa en matchning. Hitta en sådan generell form av antiderivatan som motsvarar den givna funktionen.

Primitiv. Differentialkalkylens uppgift är att hitta dess derivata med avseende på en given funktion. Integralkalkylens uppgift: att hitta en funktion, känna till dess derivata. Funktionen F(x) kallas antiderivata för funktionen f(x) på ett givet intervall, om för något x från detta intervall är likheten F ʹ (x)=f(x) sann.

Sats. Om funktionen F(x) är en antiderivata för funktionen f(x) på något intervall, så har mängden av alla antiderivator av denna funktion formen F(x)+C, där C R. y x 0 Geometriskt: F( x)+C är en familjkurvor som erhålls från var och en av dem genom parallell translation längs OS-axeln. C integralkurva

Exempel 2. Hitta alla antiderivata funktioner f(x)=2x och representera dem geometriskt. y x

Integranden - integranden - tecknet för den obestämda integralen x - integrationsvariabeln F (x) + C - mängden av alla antiderivator C - integrationskonstanten Processen att hitta den antiderivata funktionen kallas integration, och delen av matematiken kallas integralkalkyl.

Egenskaper för den obestämda integralen Differentialen för den obestämda integralen är lika med integranden, och derivatan av den obestämda integralen är lika med integranden:

Grundläggande metoder för integration. Metod för direkt integration. Direktintegration är en metod för att beräkna integraler där de reduceras till tabellformade genom att tillämpa de grundläggande egenskaperna hos en obestämd integral. I det här fallet omvandlas integranden vanligtvis på ett lämpligt sätt.

Anoshina O.V.

Huvudlitteratur

1. V. S. Shipachev, högre matematik. Grundkurs: lärobok och
workshop för kandidater [Certifikat från Ryska federationens utbildningsministerium] / V. S.
Shipachev; ed. A. N. Tikhonova. - 8:e uppl., reviderad. och ytterligare Moskva: Yurayt, 2015. - 447 s.
2. V. S. Shipachev, högre matematik. Hela kursen: lärobok
för acad. Kandidatexamen [Certificate of UMO] / V. S. Shipachev; ed. MEN.
N. Tikhonova. - 4:e upplagan, Rev. och ytterligare - Moskva: Yurayt, 2015. - 608
Med
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. högre matematik
i övningar och uppgifter. [Text] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Kozhevnikov. Klockan 2 - M .: Högre skola, 2007. - 304 + 415c.

Rapportering

1.
Testa. Utförs i enlighet med:
Uppgifter och riktlinjer för genomförande av examination
i disciplinen "TILLÄMPAD MATEMATIK", Yekaterinburg, FGAOU
VO "Rysk statlig yrkespedagogisk
Universitet", 2016 - 30-talet.
Välj alternativet för kontrollarbete genom den sista siffran i numret
Journal.
2.
Examen

Obestämd integral, dess egenskaper och beräkning Antiderivativ och obestämd integral

Definition. Funktionen F x kallas
antiderivata funktion f x definierad på
något intervall om F x f x för
varje x från detta intervall.
Till exempel är cos x-funktionen
primitiv sin funktioner x, därför att
cos x sin x .

Uppenbarligen, om F x är en antiderivata
funktioner f x , då är F x C , där C är någon konstant, också
antiderivata funktion f x .
Om F x är någon antiderivata
funktion f x , sedan valfri funktion av formen
F x F x C är också
antiderivata funktion f x och vilken som helst
primitiv kan representeras i denna form.

Definition. Helheten av alla
antiderivator av funktionen f x ,
definieras på vissa
däremellan kallas
obestämd integral av
fungerar f x på detta intervall och
betecknas med f x dx .

Om F x är någon antiderivata av funktionen
f x , då skriver de f x dx F x C , fastän
det vore mer korrekt att skriva f x dx F x C .
Vi ska, enligt etablerad tradition, skriva
f x dx F x C .
Alltså samma symbol
f x dx kommer att beteckna som helhet
uppsättning antiderivator av funktionen f x ,
och alla delar av denna uppsättning.

Integralegenskaper

Derivatan av den obestämda integralen är
integrand, och dess differentiering till integranden. Verkligen:
1.(f(x)dx)(F(x)C)F(x)f(x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Integralegenskaper

3. Obestämd integral av
differential kontinuerligt (x)
differentierbar funktion är lika med sig själv
denna funktion upp till en konstant:
d (x) (x) dx (x) C,
eftersom (x) är ett antiderivat av (x).

Integralegenskaper

4. Om funktionerna f1 x och f 2 x har
antiderivator, sedan funktionen f1 x f 2 x
har också ett antiderivat, och
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx;
6. f x dx f x C;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
en 1
x
2. x a dx
C, (a1).
en 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4.a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C .
synd x
dx
9. 2tgx C .
för x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

Tabell över obestämda integraler

11.
dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
x
12. 2 2 arctan C .
a
a
yxa
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
arcsin C..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
yxa
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 a
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
2 lm x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x

Egenskaper hos differentialer

Vid integration är det bekvämt att använda
egenskaper: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Exempel

Exempel. Beräkna cos 5xdx.
Lösning. I tabellen över integraler finner vi
cos xdx sin x C .
Låt oss omvandla denna integral till en tabellform,
dra nytta av det faktum att d ax adx .
Sedan:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Exempel

Exempel. Beräkna x
3x x 1 dx.
Lösning. Sedan under integraltecknet
är summan av fyra termer, alltså
expandera integralen som summan av fyra
integraler:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Oberoende av typen av variabel

När man beräknar integraler är det bekvämt
använd följande egenskaper
integraler:
Om f x dx F x C , då
f x b dx F x b C .
Om f x dx F x C , då
1
f ax b dx F ax b C .
a

Exempel

Beräkna
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Integrationsmetoder Integration per delar

Denna metod är baserad på formeln udv uv vdu .
Följande integraler tas av metoden för integration av delar:
a) xn sin xdx, där n 1,2...k;
b) xnexdx, där n 1,2...k;
c) xn arctgxdx, där n 0, 1, 2,... k . ;
d) xn ln xdx, där n 0, 1, 2,... k .
Vid beräkning av integralerna a) och b) anger du
n 1
notation: x n u , sedan du nx dx , och till exempel
sin xdx dv , sedan v cos x .
Vid beräkning av integralerna c), d) beteckna för u funktionen
arctgx , ln x , och för dv tar de x n dx .

Exempel

Exempel. Beräkna x cos xdx .
Lösning.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Exempel

Exempel. Beräkna
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Variabel ersättningsmetod

Låt det krävas att hitta f x dx , och
direkt ta upp det primitiva
för f x kan vi inte, men vi vet det
hon finns. Hittas ofta
antiderivata genom att införa en ny variabel,
enligt formeln
f x dx f t t dt , där x t och t är det nya
variabel

Integration av funktioner som innehåller ett kvadratiskt trinomium

Tänk på integralen
axb
dx ,
x px q
innehållande ett kvadratiskt trinomium i
integrandens nämnare
uttryck. En sådan integral tas också
metod för förändring av variabler,
tidigare identifierat i
nämnaren är en hel kvadrat.
2

Exempel

Beräkna
dx
.
x4x5
Lösning. Låt oss omvandla x 2 4 x 5 ,
2
välja en hel kvadrat enligt formeln a b 2 a 2 2ab b 2 .
Då får vi:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Exempel

Hitta
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Definitiv integral, dess huvudsakliga egenskaper. Newton-Leibniz formel. Tillämpningar av en bestämd integral.

Begreppet en bestämd integral leder till
problemet med att hitta området för en kurvlinjär
trapets.
Låt på något intervall ges
kontinuerlig funktion y f (x) 0
En uppgift:
Rita dess graf och hitta F-arean av figuren,
avgränsad av denna kurva, två räta linjer x = a och x
= b, och underifrån - ett segment av abskissaxeln mellan punkterna
x = a och x = b.

Figuren aABb kallas
kurvlinjär trapets

Definition

b
f(x)dx
Under en bestämd integral
a
från en given kontinuerlig funktion f(x) på
detta segment förstås
motsvarande ökning
primitiv, alltså
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Siffrorna a och b är integrationens gränser,
är integrationsintervallet.

Regel:

Den bestämda integralen är lika med skillnaden
värden för antiderivatintegranden
funktioner för övre och nedre gränser
integration.
Vi introducerar notationen för skillnaden
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Newton-Leibniz formel.

Grundläggande egenskaper hos en bestämd integral.

1) Värdet av en bestämd integral beror inte på
integrationsvariabelnotation, dvs.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
där x och t är alla bokstäver.
2) En bestämd integral med densamma
utanför
integrationen är noll
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a

3) När man omarrangerar gränserna för integration
den bestämda integralen vänder om sitt tecken
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(additivitetsegenskap)
4) Om intervallet är uppdelat i ett ändligt tal
delintervall, sedan den bestämda integralen,
övertagna intervallet är lika med summan av det definierade
integraler tagit över alla dess delintervall.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) En konstant multiplikator kan tas ut
för tecknet på en bestämd integral.
6) En bestämd integral av det algebraiska
summor av ett ändligt antal kontinuerliga
funktioner är lika med samma algebraiska
summan av bestämda integraler av dessa
funktioner.

3. Ändring av variabel i en bestämd integral.

3. Ersätta en variabel i en viss
väsentlig.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a(), b(), (t)
var
för t[; ] , är funktionerna (t) och (t) kontinuerliga på;
5
Exempel:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Felaktiga integraler.

Felaktiga integraler.
Definition. Låt funktionen f(x) definieras på
oändligt intervall, där b< + . Если
existerar
b
lim
f(x)dx,
b
a
då kallas denna gräns otillbörlig
integral av funktionen f(x) på intervallet
}