Svojstva funkcije y sin x. Grafikon funkcije y = sin x. Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcija y=sin(x). Definicije i svojstva"

Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcija y=sin(x). Definicije i svojstva"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u online trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni građevinski zadaci za 7-10 razred
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo učiti:

Svojstva funkcije Y=sin(X).
Funkcijski graf.
Kako napraviti grafikon i njegovu skalu.
Primjeri.

svojstva sinusa. Y=sin(X)

Ljudi, već smo se susreli s trigonometrijskim funkcijama numeričkog argumenta. Sjećate li ih se?

Pogledajmo detaljnije funkciju Y=sin(X).

Zapišimo neka svojstva ove funkcije:
1) Područje definicije je skup realnih brojeva.
2) Funkcija je neparna. Prisjetimo se definicije neparne funkcije. Funkcija se naziva neparnom ako je jednakost istinita: y(-x)=-y(x). Kao što se sjećamo iz formula duhova: sin(-x)=-sin(x). Definicija je zadovoljena, tako da je Y=sin(X) neparna funkcija.
3) Funkcija Y=sin(X) raste na intervalu i opada na intervalu [π/2; π]. Kada se krećemo duž prve četvrtine (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), ordinata se povećava, a kada se krećemo duž druge četvrtine, smanjuje se.

4) Funkcija Y=sin(X) je ograničena odozdo i odozgo. Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Najmanja vrijednost funkcije je -1 (za x = - π/2+ πk). Najveća vrijednost funkcije je 1 (za x = π/2+ πk).

Koristimo svojstva 1-5 da nacrtamo funkciju Y=sin(X). Napravit ćemo naš graf uzastopno, primjenjujući naša svojstva. Počnimo graditi graf na segmentu.

Posebnu pažnju treba obratiti na skalu. Na ordinatnoj osi je prikladnije uzeti jedan segment jednak 2 ćelije, a na osi apscise - jedan segment (dvije ćelije) koji treba uzeti jednak π / 3 (vidi sliku).

Iscrtavanje funkcije sinus x, y=sin(x)

Izračunajmo vrijednosti funkcije na našem segmentu:

Napravimo graf za naše tačke, uzimajući u obzir treće svojstvo.

Tablica konverzije za formule duhova

Koristimo drugo svojstvo, koje kaže da je naša funkcija neparna, što znači da se može simetrično reflektirati oko ishodišta:

Znamo da je sin(x+ 2π) = sin(x). To znači da na intervalu [- π; π] graf izgleda isto kao na segmentu [π; 3π] ili ili [-3π; - pi] i tako dalje. Ostaje nam da pažljivo iscrtamo graf na prethodnoj slici na cijeloj x-osi.

Graf funkcije Y=sin(X) naziva se sinusoida.

Napišimo još nekoliko svojstava prema konstruiranom grafu:
6) Funkcija Y=sin(X) raste na bilo kom segmentu oblika: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k je cijeli broj i opada na bilo kojem segmentu oblika: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k je cijeli broj.
7) Funkcija Y=sin(X) je kontinuirana funkcija. Pogledajmo graf funkcije i uvjerimo se da naša funkcija nema prekida, to znači kontinuitet.
8) Raspon vrijednosti: segment [- 1; 1]. To je također jasno vidljivo iz grafa funkcije.
9) Funkcija Y=sin(X) je periodična funkcija. Pogledajmo ponovo graf i vidimo da funkcija poprima iste vrijednosti u nekim intervalima.

Primjeri problema sa sinusom

1. Riješite jednačinu sin(x)= x-π

Rješenje: Napravimo 2 grafika funkcije: y=sin(x) i y=x-π (vidi sliku).
Naši se grafovi seku u jednoj tački A(π; 0), ovo je odgovor: x = π

2. Nacrtajte funkciju y=sin(π/6+x)-1

Rješenje: Željeni graf se dobija pomicanjem grafika funkcije y=sin(x) za π/6 jedinica ulijevo i 1 jedinicu naniže.

Rješenje: Napravimo graf funkcije i razmotrimo naš segment [π/2; 5π/4].
Grafikon funkcije pokazuje da se najveća i najmanja vrijednost postižu na krajevima segmenta, u tačkama π/2 i 5π/4, respektivno.
Odgovor: sin(π/2) = 1 je najveća vrijednost, sin(5π/4) = najmanja vrijednost.

Sinusni problemi za samostalno rješenje

Riješite jednačinu: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
Nacrtajte funkciju y=sin(π/3+x)-2
Nacrtajte funkciju y=sin(-2π/3+x)+1
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y=sin(x) na segmentu
Odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije y=sin(x) na segmentu [- π/3; 5π/6]

>>Matematika: funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi

Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafikoni

U ovom dijelu raspravljamo o nekim svojstvima funkcija y = sin x,y= cos x i nacrtajte njihove grafike.

1. Funkcija y = sin X.

Iznad, u § 20, formulisali smo pravilo koje dozvoljava da svaki broj t bude povezan sa brojem cos t, tj. karakterizira funkciju y = sin t. Napominjemo neka njegova svojstva.

Svojstva funkcije u = sint.

Područje definicije je skup K realnih brojeva.
Ovo proizilazi iz činjenice da bilo koji broj 2 odgovara tački M(1) na brojevnoj kružnici, koja ima dobro definiranu ordinatu; ova ordinata je cos t.

u = sin t je neparna funkcija.

Ovo proizilazi iz činjenice da je, kao što je dokazano u § 19, za bilo koje t jednakost
To znači da je graf funkcije u = sin t, kao i graf bilo koje neparne funkcije, simetričan u odnosu na ishodište u pravokutnom koordinatnom sistemu tOi.

Funkcija u = sin t raste na intervalu
Ovo proizilazi iz činjenice da kada se tačka kreće duž prve četvrtine numeričkog kruga, ordinata se postepeno povećava (od 0 do 1 - vidi sliku 115), a kada se tačka kreće duž druge četvrtine brojčanog kruga, ordinata se postepeno smanjuje (od 1 do 0 - vidi sl. 115). sl. 116).

Funkcija u = sin t je ograničena i odozdo i odozgo. Ovo sledi iz činjenice da je, kao što smo videli u § 19, za bilo koje t nejednakost

(funkcija dostigne ovu vrijednost u bilo kojoj tački forme (funkcija dostigne ovu vrijednost u bilo kojoj tački forme
Koristeći dobijena svojstva, konstruišemo graf funkcije od interesa za nas. Ali (pažnja!) umjesto u - sin t, pisat ćemo y = sin x (uostalom, više smo navikli pisati y = f (x), a ne u = f (t)). To znači da ćemo graf izgraditi u uobičajenom koordinatnom sistemu hOu (a ne tOy).

Napravimo tablicu vrijednosti funkcija po - sin x:

Komentar.

Evo jedne od verzija porijekla pojma "sinus". Na latinskom, sinus znači savijanje (tetiva).

Konstruisani graf donekle opravdava ovu terminologiju.

Linija koja služi kao graf funkcije y = sin x naziva se sinusoida. Taj dio sinusoide, koji je prikazan na sl. 118 ili 119, naziva se sinusoidni val, a onaj dio sinusoide, koji je prikazan na sl. 117 se naziva poluval ili luk sinusnog vala.

2. Funkcija y = cos x.

Proučavanje funkcije y = cos x moglo bi se provesti približno prema istoj shemi koja je gore korištena za funkciju y = sin x. Ali mi ćemo izabrati put koji brže vodi do cilja. Prvo ćemo dokazati dvije formule koje su same po sebi važne (to ćete vidjeti u srednjoj školi), ali za sada imaju samo pomoćnu vrijednost za naše potrebe.

Za bilo koju vrijednost t, jednakosti

Dokaz. Neka broj t odgovara tački M numeričkog n kruga, a broj * + - tački P (sl. 124; radi jednostavnosti, u prvoj četvrtini uzeli smo tačku M). Lukovi AM i BP su jednaki, a pravougli trouglovi OKM i OBP su takođe jednaki. Dakle, O K = Ob, MK = Pb. Iz ovih jednakosti i iz položaja trouglova OKM i OLR u koordinatnom sistemu izvodimo dva zaključka:

1) ordinata tačke P i po apsolutnoj vrednosti i po predznaku poklapa se sa apscisom tačke M; to znači da

2) apscisa tačke P je po apsolutnoj vrednosti jednaka ordinati tačke M, ali se od nje razlikuje po znaku; to znači da

Približno isto razmišljanje se provodi u slučajevima kada tačka M ne pripada prvoj četvrtini.
Koristimo formulu (ovo je formula dokazana gore, samo umjesto varijable t koristimo varijablu x). Šta nam ova formula daje? Omogućava nam da tvrdimo da su funkcije

su identični, pa su im i grafikoni isti.
Nacrtajmo funkciju Da bismo to uradili, pređimo na pomoćni koordinatni sistem sa ishodištem u tački (isprekidana linija je nacrtana na slici 125). Povežimo funkciju y = sin x na novi koordinatni sistem - ovo će biti graf funkcije (Sl. 125), tj. grafik funkcije y - cos x. On se, kao i graf funkcije y = sin x, naziva sinusoidom (što je sasvim prirodno).

Svojstva funkcije y = cos x.

y = cos x je parna funkcija.

Faze izgradnje su prikazane na sl. 126:

1) gradimo graf funkcije y \u003d cos x (tačnije, jedan poluval);
2) rastezanjem konstruisanog grafika od x-ose sa koeficijentom 0,5 dobijamo jedan polutalas traženog grafika;
3) koristeći rezultirajući poluval, gradimo cijeli graf funkcije y = 0,5 cos x.

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir prezentacije lekcije akcelerativne metode interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike grafike, tabele, šeme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjenom zastarjelih znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice diskusioni programi Integrisane lekcije

U ovoj lekciji ćemo detaljno razmotriti funkciju y = sin x, njena glavna svojstva i graf. Na početku lekcije dat ćemo definiciju trigonometrijske funkcije y \u003d sin t na koordinatnoj kružnici i razmotriti graf funkcije na kružnici i pravoj. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo neke jednostavne probleme koristeći graf funkcije i njena svojstva.

Tema: Trigonometrijske funkcije

Lekcija: Funkcija y=sinx, njena glavna svojstva i graf

Kada se razmatra funkcija, važno je pridružiti jednu vrijednost funkcije svakoj vrijednosti argumenta. Ovo zakon dopisivanja i naziva se funkcija.

Hajde da definiramo korespondencijski zakon za .

Bilo koji realan broj odgovara jednoj tački na jediničnom krugu.Tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).

Svakoj vrijednosti argumenta dodjeljuje se jedna vrijednost funkcije.

Očigledna svojstva slijede iz definicije sinusa.

Slika to pokazuje jer je ordinata tačke na jediničnom krugu.

Razmotrite graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je središnji ugao mjeren u radijanima. Na osi ćemo iscrtati realne brojeve ili uglove u radijanima, duž ose odgovarajuće vrijednosti funkcije.

Na primjer, ugao na jediničnom krugu odgovara tački na grafikonu (slika 2)

Dobili smo grafik funkcije na sajtu, ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije na cijelom domenu definicije (slika 3).

Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti na cijeli domen definicije.

Razmotrite svojstva funkcije:

1) Domen definicije:

2) Raspon vrijednosti:

3) Funkcija neparna:

4) Najmanji pozitivni period:

5) Koordinate tačaka preseka grafika sa x-osom:

6) Koordinate tačke preseka grafika sa y-osom:

7) Intervali na kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:

8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:

9) Povećani intervali:

10) Silazni intervali:

11) Niske tačke:

12) Minimalne karakteristike:

13) Visoke tačke:

14) Maksimalne karakteristike:

Razmatrali smo svojstva funkcije i njenog grafa. Svojstva će se više puta koristiti u rješavanju problema.

Bibliografija

1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Udžbenik za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Zadatak za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike). - M.: Prosveta, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Detaljna studija algebre i matematičke analize.-M .: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka zadataka iz matematike za studente tehničkih fakulteta (pod uredništvom M.I.Skanavi).-M.: Viša škola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski trener.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zadaci iz algebre i počeci analize (priručnik za učenike od 10. do 11. razreda opšteobrazovnih ustanova).-M .: Obrazovanje, 2003.

8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i počeci analize: udžbenik. dodatak za 10-11 ćelija. sa dubokim studija matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

Zadaća

Algebra i počeci analize, 10. razred (u dva dijela). Zadatak za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatni web resursi

3. Edukativni portal za pripremu ispita ().

, Takmičenje "Prezentacija za čas"

Prezentacija za lekciju

Nazad napred

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Gvožđe rđa, ne nalazeći sebi upotrebu,
stajaća voda trune ili se smrzava na hladnoći,
a ljudski um, ne nalazeći sebi koristi, vene.
Leonardo da Vinci

Korišćene tehnologije: problemsko učenje, kritičko mišljenje, komunikativna komunikacija.

Ciljevi:

Razvoj kognitivnog interesa za učenje.
Proučavanje svojstava funkcije y \u003d sin x.
Formiranje praktičnih vještina za konstruiranje grafa funkcije y = sin x na temelju proučavanog teorijskog materijala.

Zadaci:

1. Iskoristite postojeći potencijal znanja o svojstvima funkcije y = sin x u određenim situacijama.

2. Primijeniti svjesno uspostavljanje veza između analitičkih i geometrijskih modela funkcije y = sin x.

Razvijati inicijativu, određenu spremnost i interesovanje za pronalaženje rješenja; sposobnost donošenja odluka, da se ne zaustavi na tome, da se brani svoje gledište.

Obrazovati učenike za saznajnu aktivnost, osjećaj odgovornosti, uvažavanje jedni drugih, međusobno razumijevanje, međusobnu podršku, samopouzdanje; kulture komunikacije.

Tokom nastave

Faza 1. Aktuelizacija osnovnih znanja, motivacija za učenje novog gradiva

"Unos lekcije"

Na tabli su napisane 3 izjave:

Trigonometrijska jednačina sin t = a uvijek ima rješenja.
Neparna funkcija se može prikazati pomoću transformacije simetrije oko y-ose.
Trigonometrijska funkcija se može grafički prikazati koristeći jedan glavni poluval.

Učenici diskutuju u parovima: Da li su tvrdnje tačne? (1 minuta). Rezultati početne rasprave (da, ne) se zatim unose u tabelu u koloni „Prije“.

Nastavnik postavlja ciljeve i zadatke časa.

2. Ažuriranje znanja (frontalno na modelu trigonometrijskog kruga).

Već smo se susreli sa funkcijom s = sin t.

1) Koje vrijednosti može uzeti varijabla t. Koji je opseg ove funkcije?

2) U kom intervalu se nalaze vrijednosti izraza sin t. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije s = sin t.

3) Riješite jednačinu sin t = 0.

4) Šta se dešava sa ordinatom tačke dok se kreće duž prve četvrtine? (ordinata raste). Šta se dešava sa ordinatom tačke dok se kreće duž druge četvrtine? (ordinata se postepeno smanjuje). Kako se to odnosi na monotonost funkcije? (funkcija s = sin t raste na segmentu i opada na segmentu ).

5) Napišimo funkciju s = sin t u uobičajenom obliku za nas y = sin x (sagradit ćemo uobičajeni xOy koordinatni sustav) i sastaviti tablicu vrijednosti za ovu funkciju.

X	0
at	0			1			0

Faza 2. Percepcija, razumijevanje, primarna konsolidacija, nevoljno pamćenje

Faza 4. Primarna sistematizacija znanja i metoda djelovanja, njihov prijenos i primjena u novim situacijama

6. br. 10.18 (b, c)

Faza 5 Završna kontrola, korekcija, procjena i samoprocjena

7. Vraćamo se na iskaze (početak lekcije), razgovaramo o korištenju svojstava trigonometrijske funkcije y = sin x i popunjavamo stupac "Nakon" u tablici.

8. D/z: tačka 10, br. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)