В чем измеряется коэффициент жесткости пружины. Формула жесткости пружины. Примеры задач на нахождение жесткости

Расчет пружины. Рассмотрим, каким образом можно получить зависимость удлинения пружины от приложенной нагрузки. Считаем по теоретическим формулам сопротивления материалов. Блокнот Mathemetica прилагается.

Расчет пружины. Общие сведения

Для автоматизации многочисленных подстановок, буду применять Mathematica Online. Приведу сразу снимок блокнота. Теория далее. Задействованы ReplaceAll в краткой форме и Solve.

Блокнот Mathematica Online. Вывод формулы коэффициента жесткости пружины.

Cчитаем, что пружина это скручивающийся стержень. У кусочка проволоки, из которого навита пружина, есть некоторая длина (это будет длина стержня). Диаметр проволоки равен .

Пружина для расчета жесткости

Энергия деформации

Для энергии (Дж) деформации крутящегося стержня имеем следующее выражение:

Здесь: — объем стержня (проволоки пружины), — модуль сдвига (для стали равен Па), — максимальное касательное напряжение на поверхности стержня, — площадь поперечного сечения проволоки, из которой свита пружина, — длина проволоки, из которой свита пружина. Без зацепов и поджатых витков. Площадь поперечного сечения может быть выражена через диаметр проволоки:

Как известно, напряжения в стержне при кручении меняются от нуля в центре до максимума на поверхности стержня. То есть: — для касательных напряжений в произвольной точке стержня на расстоянии от оси вращения. Для максимальных касательных напряжений, радиус максимален и равен радиусу проволоки, поэтому: . Здесь — радиус точки в которой вычисляется напряжение (максимальный радиус равен ), — диаметр проволоки, — полярный момент инерции сечения проволоки. Для проволоки круглого сечения момент равен: . — момент кручения стержня, выражается через силу , которая приложена к пружине по оси спирали:

Таким образом, подставив все величины в формулу для определения энергии деформации, мы получим следующее выражение энергии (см. ячейку 15 блокнота Mathematica):

Работа силы на свободном конце пружины

С другой стороны, работа, совершаемая некоторой силой на перемещение нижнего конца пружины при растяжении должна быть равна энергии деформации. Известно, что усилие для растяжения пружины не постоянно, чем больше растягиваем, тем больше усилие. Закон линеен. Поэтому работа равна площади треугольника под графиком линейной функции, то есть:

Зависимость перемещения Y от силы F

Приравнивая работу (Дж) к энергии (Дж), получаем уравнение:

Забыл кое-что выразить. — длина проволоки в спирали может быть подсчитана так: , где — диаметр спирали, — число витков.

Сделаем замену в уравнении и выразим (Ячейка 18):

т.е. , где

(Н/м) — это искомый коэффициент жесткости цилиндрической пружины. Обратите внимание на то, что жесткость прямо пропорциональна диаметру проволоки в четвертой степени и обратно пропорциональна диаметру пружины в кубе. Это означает, что увеличение диаметра проволоки в два раза при прочих размерах без изменений, увеличит жесткость в раз. А увеличение диаметра пружины в два раза при прочих размерах без изменений, уменьшит жесткость в раз.

На практике, приходится учитывать некоторые нюансы. Например, диаметр проволоки может быть не любым а только таким, который выпускается промышленностью. У пружины, кроме жесткости есть такая характеристика, как ресурс и режим работы. Учитывается даже соударение витков — вспомните магическую пружинку Слинки, которую Эйс Вентура с монастыря спускал, так вот, у ней всегда витки соударяются. Кроме того, выведенная формула жесткости не учитывает криволинейность оси проволоки, свитой в пружину. Для этого существует специальный поправочный коэффициент, входящий в формулу для вычисления касательного напряжения. Этот коэффициент зависит от индекса пружины . Пружины на практике рассчитываются в соответствии с нормативной документацией:

Методика определения размеров пружин дана в ГОСТ 13765-86 — «Пружины винтовые цилиндрические сжатия и растяжения из стали круглого сечения. Обозначение параметров, методика определения размеров».

Расчет пружины выполняется по ГОСТ, см. В.И. Анурьев — «Справочник конструктора машиностроителя» Том 3, стр 199. Издание 2001 г.

Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?

Для начала определим основные термины , которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация - это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д.), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

• лепка из глины;
• погнутая алюминиевая ложка.

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

• резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
• пружина (после сжатия снова распрямляется).

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

где F - сила упругости, x - расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k - необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Определение коэффициента жесткости

Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ - на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:

Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.

Единица измерения жесткости в СИ - Н/м.

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости . В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k - общая жесткость системы, k1, k2, …, ki - отдельные жесткости каждого элемента, i - общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно , величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

k = k1 + k2 + … + ki.

Измерение жесткости пружины опытным путем - в этом видео.

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука . Для проведения эксперимента понадобятся:

• линейка;
• пружина;
• груз с известной массой.

Последовательность действий для опыта такова:

1. Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
2. При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
3. На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
4. Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
5. Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
6. Сила, которая вызвала деформацию, - это сила тяжести тела. Формула для ее расчета - F = mg, где m - это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g - величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
7. После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.

Примеры задач на нахождение жесткости

Задача 1

На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.

1. Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14-10 = 4 см = 0,04 м.
2. По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.

Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.

Задача 2

Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.

1. Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
2. Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
3. Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
4. По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
5. Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.

Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.

I. Жесткость пружины

Что такое жесткость пружины ?
Одним из важнейших параметров, относящимся к упругим изделиям из металла разного назначения, является жесткость пружины. Она подразумевает, насколько пружина будет устойчива к воздействию других тел и насколько сильно сопротивляется им при воздействии. Силе сопротивления равен коэффициент жесткости пружины.

На что влияет этот показатель?
Пружина – это достаточно упругое изделие, обеспечивающее передачу поступательных вращательных движений тем приборам и механизмам, в которых она находится. Надо сказать, что встретить пружину можно повсеместно, каждый третий механизм в доме оснащен пружиной, не говоря уже о количестве этих упругих элементов в приборах на производстве. При этом надежность функционирования этих приборов будет определяться степенью жесткости пружины. Эта величина, называемая коэффициентом жесткости пружины, зависит от усилия, которое нужно приложить, чтобы сжать или растянуть пружину. Распрямление пружины до исходного состояния определяется тем металлом, из которого она изготовлена, но не степенью жесткости.

От чего зависит данный показатель?
Такой простой элемент, как пружина, обладает массой разновидностей в зависимости от степени назначения. По способу передачи деформации механизму и форме выделяют спиральные, конические, цилиндрические и другие. Поэтому жесткость конкретного изделия определяется также и способом передачи деформации. Деформационная характеристика будет разделять пружинные изделия на пружины кручения, сжатия, изгиба и растяжения.

При использовании в приборе сразу двух пружин, степень их жесткости будет зависеть от способа крепления – при параллельном соединении в приборе жесткость пружин будет увеличиваться, а при последовательном – уменьшаться.

II. Коэффициент жесткости пружины

Коэффициент жесткости пружины и пружинных изделий – один из важнейших показателей, который определяет срок службы изделия. Для расчета коэффициента жесткости в ручную — существует несложная формула (см. рис. 1), а так же есть возможность воспользоваться нашим калькулятором пружин , который достаточно легко поможет произвести Вам все необходимые расчеты. Однако на срок эксплуатации всего механизма жесткость пружины будет влиять лишь косвенно – большее значение будут иметь другие качественные особенности прибора.

Мы уже неоднократно пользовались динамометром – прибором для измерения сил. Познакомимся теперь с законом, позволяющим измерять силы динамометром и обуславливающим равномерность его шкалы.

Известно, что под действием сил возникает деформация тел – изменение их формы и/или размеров . Например, из пластилина или глины можно вылепить предмет, форма и размеры которого будут сохраняться и после того, когда мы уберём руки. Такую деформацию называют пластической. Однако, если наши руки деформируют пружину, то когда мы их уберём, возможны два варианта: пружина полностью восстановит форму и размеры или же пружина сохранит остаточную деформацию.

Если тело восстанавливает форму и/или размеры, которые были до деформации, то деформация упругая . Возникающая при этом в теле сила – это сила упругости, подчиняющаяся закону Гука :

Поскольку удлинение тела входит в закон Гука по модулю, этот закон будет справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел.

Опыты показывают: если удлинение тела мало по сравнению с его длиной, то деформация всегда упругая; если удлинение тела велико по сравнению с его длиной, то деформация, как правило, будет пластической или даже разрушающей . Однако, некоторые тела, например, резинки и пружины деформируются упруго даже при значительных изменениях их длины. На рисунке показано более чем двухкратное удлинение пружины динамометра.

Для выяснения физического смысла коэффициента жёсткости, выразим его из формулы закона. Получим отношение модуля силы упругости к модулю удлинения тела. Вспомним: любое отношение показывает, сколько единиц величины числителя приходится на единицу величины знаменателя. Поэтому коэффициент жёсткости показывает силу, возникающую в упруго деформированном теле при изменении его длины на 1 м.

1. Динамометр является...
2. Благодаря закону Гука в динамометре наблюдается...
3. Явлением деформации тел называют...
4. Пластически деформированным мы назовём тело, ...
5. В зависимости от модуля и/или направления приложенной к пружине силы, ...
6. Деформацию называют упругой и считают подчиняющейся закону Гука, ...
7. Закон Гука носит скалярный характер, так как с его помощью можно определить только...
8. Закон Гука справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел, ...
9. Наблюдения и опыты по деформации различных тел показывают, что...
10. Ещё со времени детских игр мы хорошо знаем, что...
11. По сравнению с нулевым штрихом шкалы, то есть недеформированным начальным состоянием, справа...
12. Чтобы понять физический смысл коэффициента жёсткости, ...
13. В результате выражения величины «k» мы...
14. Ещё из математики начальной школы мы знаем, что...
15. Физический смысл коэффициента жёсткости состоит в том, что он...

Груз, подвешенный на пружине, вызывает ее деформацию. Если пружина способна восстановить первоначальную форму, то ее деформация называется упругой.

При упругих деформациях выполняется закон Гука:

где F упр ¾ сила упругости; k ¾ коэффициент упругости (жесткость); Dl - удлинение пружины.

Примечание : знак “-” определяет направление силы упругости.

Если груз находится в равновесии, то сила упругости численно равна силе тяжести: k Dl = m g , тогда можно найти коэффициент упругости пружины:

где m ¾ масса груза; g ¾ ускорение свободного падения.

Рис.1		Рис. 2

При последовательном соединении пружин (см. рис.1) силы упругости, возникающие в пружинах, равны между собой, а общее удлинение системы пружин складывается из удлинений в каждой пружине.

Коэффициент жесткости такой системы определяется по формуле:

где k 1 - жесткость первой пружины; k 2 - жесткость второй пружины.

При параллельном соединении пружин (см. рис. 2) удлинение пружин одинаково, а результирующая сила упругости равна сумме сил упругости в отдельных пружинах.

Коэффициент жесткости при параллельном соединении пружин находится по формуле:

k рез = k 1 + k 2 . (3)

Порядок выполнения работы

1. Прикрепить пружину к штативу. Подвешивая к каждой пружине грузы в порядке возрастания их массы, измерять удлинение пружины Dl .

2. По формуле F = mg рассчитать силу упругости.

3. Построить графики зависимости силы упругости от величины удлинения пружины. По виду графиков определить выполняется ли закон Гука.

5. Найти абсолютную погрешность каждого измерения

Dk i = êk i - k ср ê.

6. Найти среднее арифметическое значение абсолютной погрешности D k ср.

7. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу.

1. Провести измерения (как описано в задании 1) и рассчитать коэффициенты упругости последовательно и параллельно соединенных пружин.

2. Найти среднее значение коэффициентов и погрешности их измерений. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу.

4. Найти погрешность эксперимента, сравнив теоретические значения коэффициента упругости с экспериментальными по формуле:

.

m , кг
F , Н
Первая пружина
Dl 1 , м
k 1 , Н/м							k ср =
D k 1 , Н/м							D k ср =
Вторая пружина
Dl 2 , м
k 2 , Н/м							k ср =
D k 2 , Н/м							D k ср =
Последовательное соединение пружин
Dl , м
k , Н/м							k ср =
D k , Н/м							D k ср =
Параллельное соединение пружин
Dl , м
k , Н/м							k ср =
D k , Н/м							D k ср =

Контрольные вопросы

Сформулируйте закон Гука.

Дайте определение деформации, коэффициента упругости. Назовите единицы измерения этих величин в СИ.

Как находится коэффициент упругости для параллельного и последовательного соединения пружин?

Лабораторная работа № 1-5

Изучение законов динамики

Поступательного движения

Теоретические сведения

Динамика изучает причины, вызывающие механическое движение.

Инерция - способность тела сохранять состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, если на это тело не действуют другие тела.

Масса m (кг) - количественная мера инертности тела.

Первый закон Ньютона :

Существуют такие системы отсчета, в которых тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, если на него не действуют другие тела.

Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называют инерциальными .

Сила (Н ) - векторная величина, характеризующая взаимодействие между телами или частями тела.

Принцип суперпозиции сил :

Если на материальную точку действуют одновременно силы и , то их можно заменить равнодействующей силой .